Fungsi

Pengertian Fungsi

Fungsi sering juga disebut dengan istilah pemetaan (mapping) didefinisikan sebagai berikut : 

• Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B.  
• Jika f adalah fungsi dari A ke B  kita menuliskan

           f : A ® B
          yang artinya f memetakan A ke B.

• A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f. 

           Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi

 

Sifat Fungsi

Dengan memperhatikan bagaimana elemen-elemen pada masing-masing himpunan A dan B yang direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita mengenal tiga sifat fungsi yakni sebagai berikut :

Fungsi One to one

Fungsi f dikatakan one-to-one atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama. 

Fungsi Pada (Onto) 

• Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.
• Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.

Fungsi Bijeksi

• Fungsi f dikatakan berkoresponden satu-ke-satu atau bijeksi (bijection)
• Jika f fungsi satu-ke-satu (one to one) dan juga fungsi pada (onto). 

 

Jenis – jenis Fungsi

Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama, misalnya D, maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi tidak dinyatakan maka yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan real (R). Untuk fungsi-fungsi pada R kita kenal beberapa fungsi antara lain sebagai berikut.

Fungsi Konstan

f : x→ C dengan C konstan disebut fungsi konstan (tetap). Fungsi f memetakan setiap bilangan real dengan C.

Fungsi Identitas

Fungsi R→R yang didefinisikan sebagai: f : x→ x disebut fungsi identitas.

 

Fungsi Linear

Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a ≠ 0 disebut fungsi liniar. 

f(x)=ax+b→f(p)=ap+b

                     f(q)=aq+b  -

                     f(q)-f(p)=a(q-p) 

 f(q)(f(p)=a=tan α ,disebut gradien dari y=ax+b tersebut

    q-p

 Jika garis y = mx + c maka gradiennya adalah m dan melalui titik (0,c).

Fungsi Kuadrat

Fungsi f: R→R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c ∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat. 

Fungsi Rasional 

Fungsi rasional adalah suatu fungsi terbentuk f(x) =Q(x) P(x) dengan P(x) dan Q(x) adalah suku banyak dalam x dan Q(x) ≠ 0.

 

LOGIC

1.Proposisi
Proposisi merupakan kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak kedua-duanya atau tidak diketahui benar atau salahnya.
Contoh:

• 7 adalah bilangan ganjil→ Bernilai Benar
• 2 adalah bilangan ganjil→ Bernilai Salah
• x<=3 → bukan proposisi kerena tidak diketahui nilai benar atau salahnya

2. Mengkombinasikan Proposisi(Logic Connectives)
menggabungkan dua proposisi atau lebih untuk membentuk proposisi yang lebih besar dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk.
Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika.
Operator-operator logika dapat meliputi:

Nama	Istilah	Simbol
Operator Negasi	NOT	~
Operator Konjungsi	AND	∧
Operator Disjungsi	OR	∨
Operator Exclusive-OR	XOR	⊕
Operator Implikasi	IMPLIES ( jika-maka maka)	→
Operator Biimplikasi	IFF ( jika dan hanya jika )	↔

 
Contoh:
 diketahui 2 proposisi

• p : Orang itu kaya
• q : Orang itu dermawan

menyatakan proporsi dibawah dalam bentuk notasi simbolik

1. Orang itu kaya dandermawan → p ∧ q
2. Orang itu kaya tetapi tidak dermawan → p ∧ ~q
3. Orang itu tidak kaya maupun dermawan → ~ p ∧ ~q
4. tidak benar pemuda itu tinggi atau tamapan → ~ (p ∨ q)

3. Tabel Kebenaran

p	q	p ∧ q	p ∨ q	p → q	p ↔ q	p ⊕ q
T	T	T	T	T	T	F
T	F	F	T	F	F	T
F	T	F	T	T	F	T
F	F	F	F	T	T	F

4. Tautologi &Kontradiksi
Tautologi adalah proposisi yang selalu bernilai benar.
Contoh:
–(~p) ⋁ p
–p ⋁~(p ⋀q)
Kontradiksi adalah proposisi yang selalu bernilai salah.
Contoh:
–(~p) ⋀p
–(~p)⋀(p ⋀q)
5. Hukum-hukum Logika  

1.Hukum Identitas (i) p ∨ F ≡ p (ii) p ∧ T ≡ p	2.Hukum Null/Dominasi (i) p ∧ F ≡  F (ii) p ∨ T ≡ T
3.Hukum Negasi  (i) p ∨ ~p ≡ T  (ii) p ∧ ~p ≡ F	4.Hukum idempoten (i) p ∨ p ≡ p (ii) p ∧ p ≡ p
5.Hukum Involusi(negasi ganda) (i) ~ (~p) ≡ p	6.Hukum Penyerapan (absorpsi) (i) p ∨ (p ∧ q) ≡ p (ii) p ∧ (p ∨ q) ≡ p
7. Hukum komutatif (i) p ∨ q ≡ q  ∨  p (ii) p ∧ q ≡ q ∧ p	8. Hukum assosiatif (i) p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r (ii) p ∧ (q ∧ r ) ≡ (p ∧ q) ∧ r
9. Hukum Distributif (i) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (ii) p ∧ (q ∨ r ) ≡ (p ∧ q) ∨ (p Λ r)	10. Hukum De Morgan (i) ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q (ii) ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q